Kodėl jūsų draugai turi vidutiniškai daugiau draugų nei jūs?

Ar jums niekad neatrodė, kad jūsų draugai populiaresni, daugiau bendraujantys, nei jūs pats? Mokslas teigia, kad jums šiuo požiūriu tikrai nesivaidena. Ir tai tikrai nėra dar viena keista žmogiško pasaulio pažinimo „algoritmų“ ypatybių sukuriama iliuzija. Tiesą sakant, dauguma žmonių jaučiasi, – tiksliau, turėtų jaustis, – lygiai taip pat. Gali būti, kad net ta patraukli vakarėlių liūtė kartais patiria populiarumo stygių. Bet ji veikiausiai klysta :)

Mokslas apie kurį norėčiau jums papasakoti šiame tekste vadinamas tinklų teorija ir apie jį pasakosiu būtent per šio, vadinamo „draugų,“ paradokso prizmę. Elementariam šio paradokso paaiškinimui, publikuotas American Journal of Sociology žurnale, šiemet sukanka 25 metai. Pradėkime nuo penkių žmonių tarpusavio pažinčių rato analizės pavaizduotos paveiksle žemiau.

Suskaičiuokime, kiek vidutiniškai draugų turi kiekvienas šių žmonių (matematikos brandos egzamino atgarsiai sufleruoja, kad šią operaciją visgi reiktų užrašyti):

Šį vidurkį galėjome suskaičiuoti ir greičiau – paveiksle matome penkis apskritimus (žmones) ir penkias juos jungiančias linijas (ryšius). Kadangi ryšys yra abipusis, tai linijų skaičių dauginame iš dviejų ir padaliname iš žmonių skaičiaus. Kitaip tariant, 5 dauginame iš 2 padaliname iš 5. Atsakymas skaičiuojant abiem būdais, žinoma, tas pats – du.

Dabar pažvelkime į pažinčių ratą kitu kampu. Kiek vidutiniškai draugų turi A, B, C, D ir E draugai? Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad esminio skirtumo tarp to, ką suskaičiavome ir to, ką norime suskaičiuoti, nėra. O, bet, tačiau…:

• A turi du draugus – B ir C. Abu jie turi po du draugus. Įsimename – du savi draugai kartu sudėjus turi 4 draugus.
• B irgi turi du draugus – A ir D. A turi du draugus, o D turi tris. Įsimename – du savi draugai turi 5 draugus.
• C situacija tokia pati kaip ir B. Taigi, du jo draugai kartu sudėjus turi 5 draugus.
• D draugauja su B, C ir E. B ir C turi po du draugus, o E turi vieną. Įsimename – 3 savi draugai turi 5 draugus.
• E draugauja tik su D. Tad, jo vienintelis nuosavas draugas turi 3 draugus.

Skaičiuojame draugų draugų, d’, vidurkį:

Matome įdomų dalyką – draugų skaičiaus, d, vidurkis yra mažesnis už vidutinį draugų draugų skaičių. Kaip taip gali būti? Esmė ta, kad skaičiuojant vidutinį draugų draugų skaičių, daug draugų turintys žmonės įskaičiuojami dažniau nei mažiau draugų turintys žmonės. Užrašykime, kaip kiekvienam atskiram žmogui skaičiuojamas jo draugų draugų skaičius:

Sudėję visus draugų draugus matome, kad kiekvienas žmogus buvo įskaičiuotas tiek kartų kiek draugų jis turi:

Taigi, galėjome skaičiuoti viską daug paprasčiau – draugų kvadratų sumą padalinti iš draugų sumos. Iš tokios formuluotės matome, kad šie vidurkiai, pagal apibrėžimą, tarpusavyje skiriasi.

Natūralu būtų pasidomėti ar šių vidurkių vertės visada skirsis. Intuicija gali pakuždėti teisingą atsakymą – yra atvejis, kai šių vidurkių vertės gali būti vienodos. Patikrinkime šią nuojautą matematiškai. Tarkime, kad N žmonių draugų draugų suma yra lygi D₂, o tų pačių N žmonių draugų suma yra lygi D₁. Pagal „uždavinio“ sąlygą ir šių pasirinktų dydžių apibrėžimą turime:

Spręsdami lygtį, gauname įdomų tarpinį atsakymą:

Toliau judėti negalime, nes nežinome kiek tiksliai kiekvienas iš N žmonių turi draugų. Tokiu atveju belieka gudriai spėti. Tarkime, visi N žmonių turi po vienodai , po d draugų. Tokiu atveju:

Atskliaudę abi lygties puses, gauname tokius pačius reiškinius, tad lygybė yra tenkinama visiems N ir visiems d. Telieka vaizduotėje susidėlioti draugų ratą, kuriame kiekvienas žmogus galėtų turėti po vienodai draugų. Kelis pavyzdžius pateikiame paveiksluose žemiau.

Panagrinėkime kitą paprastą problemą – kas nutinka, jei bent vienas žmogus turi vienu draugu daugiau arba mažiau. Tokiu atveju turime:

Atskliaudę abi lygties puses ir perkėlę viską į vieną pusę, gauname:

Vidurkiai sutaps tik ne itin įdomaus draugų rato, sudaryto iš vieno žmogaus, atveju. Taigi „draugų“ paradoksas nėra toks jau paradoksalus – visiems realiems draugų ratams toks paradokso formulavimas bus teisingas, nes žmonių bendravimas nėra toks tvarkingas.

ISTORINIS KONTEKSTAS

Iš tiesų žmonių draugų ratai sudėtingi ir turi daug įdomių savybių. Jas tyrinėja mokslo šaka vadinama socialinių ir ekonominių tinklų teorija, o mūsų aptarti „draugų ratai“ atitinkamai vadinami tinklais. Šio mokslo šaknys beveik tokios pat gilios kaip šiuolaikinės sociologijos – pirmasis apie ryšių svarbą tarp socialinių veikėjų buvo užsiminęs vienas iš sociologijos pradininkų Augustas Komtas (XIX a. vidurys). Istorinėse apžvalgose kartais minima, kad šiuolaikinis tinklų vaizdavimas, – taip tinklai pavaizduoti šiame tekste – atsirado psichologo Jakobo Moreno darbuose (XX a. pirma pusė), kuriuose jis analizavo vaikų ir paauglių socialinių įpročių kitimą. Tačiau tinklų teorijos renesansas įvyko tik apie 1990 metus. Daugėjant kompiuterių darbuose ir namuose, mokslininkams radosi vis daugiau galimybių skaitmeniškai analizuoti duomenis. Be to, dėl visuotinės kompiuterizacijos atsirado galimybės tirti žmonių veiklą elektroninėje erdvėje – naršymo internete įpročius, ryšius elektroniniais laiškais ar bendruomenių evoliuciją internetiniuose žaidimuose (kaip Ultima Online, Lineage ar World of Warcraft). Šiuolaikinė tinklų teorija nagrinėja ir duomenis surinktus iš mobilių įrenginių – jūsų skambučiai ar trumposios žinutės gali padėti mokslininkams suprasti su kuo, kaip ir kada bendraujate. Mokslininkai ieško šiuose duomenyse slypinčių universalių dėsnių, taip pat bando paaiškinti stebimas anomalijas. Užrašo matematines lygtis ir formuluoja modelius, kurie galėtų atkurti ir paaiškinti atrastus dėsningumus.

MŪSŲ MAŽAS PASAULIS

Iš visų šiuo metu žinomų dėsningumų norėčiau išskirti du pagrindinius ir geriausiai žinomus. Pirmasis – pasaulis mažas. Žemėje gyvena apie 7,4 milijardo žmonių, bet jeigu mums reiktų per pažintis pasiekti atsitiktinį žmogų, tai būtų įmanoma atlikti vos per kelis ar, blogiausiu atveju, keliolika tarpininkų. Tarkime, mūsų žvaigždutė Monika Šalčiūtė norėtų susipažinti su Kevinu Beikonu. Jai reiktų prašyti kolegos aktoriaus Juliaus Žalakevičiaus pagalbos (su kuriuo ji vaidino filme „12 kėdžių“). Šiam tektų kreiptis į Džoną Malkovičių (su kuriuo jis vadino filme „Sibirietiškas auklėjimas“). O šis jau yra vadinęs filme „Queens Logic“ kartu su Kevinu Beikonu. Žinoma, jie yra didesnės ar mažesnės žvaigždės, o mes – eiliniai žmonės. Bet juk pažįstame ir neeilinių – kartu su jais mokėmės, lankėme būrelius ar žaidėme kieme.

Daugeliui turbūt įdomu, kodėl Šalčiūtės „taikiniu“ pasirinkau Keviną Beikoną. Jį pasirinkau ne aš, o keli amerikiečių studentai, sugalvoję žaidimą „Šeši Kevino Beikono laipsniai“ (kelią atsekiau naudodamas https://oracleofbacon.org/). Bendru atveju galėjau pasirinkti bet kurį aktorių, bet juk žaidimas yra žaidimas. Kodėl pasirinkau M. Šalčiūtę? Tarkime, žiniasklaidos įtaka.

Dar trumpam grįžkime prie žaidimo, nes jis atsirado ne be mokslinio konteksto – jis paremtas šešių atskirties laipsnių sąvoka, kuri geriausiai žinoma dėl 1967 metais įvykusio „Mažo pasaulio“ eksperimento. Šį eksperimentą vykdę mokslininkai įteikė 160 laiškų atsitiktiniams Omahos (Nebraskoje) gyventojams ir paprašė, kad jie per savo pažintis padėtų pristatyti laišką konkrečiam žmogui Bostone. Dideliam mokslininkų nustebimui, eksperimentų rezultatų mediana buvo vos 6 (t.y. pusė laiškų pasiekė adresatą vos per 6 žmones).

Kevinas Beikonas kalba TEDx renginyje apie savo vardo žaidimą, šešis atskirties laipsnius ir gyvenimą.

Sukonstruoti tokį mažo pasaulio matematinį modelį nėra sunku. Padarykime daugiau ar mažiau realistišką prielaidą – kiekvienas žmogus turi vieną draugų ratą, kuriame bendrauja su visais to rato nariais. Skirtingų draugų ratų mūsų įsivaizduojamame tinkle galėtų būti gana daug. Norint, kad žmonės turėtų galimybę pasiekti kitame rate esančius žmones, reikia ryšių už rato ribų. Jie gali būti pakankamai reti, bet jų turi būti. Tokiame socialiniame tinkle galime turėti be galo daug žmonių, tačiau kol atskirų ratų bus žymiai mažiau nei žmonių, tol kelias per pažintis bus žymiai trumpesnis nei bendras žmonių skaičius. Šis mažo pasaulio tinklo generavimo algoritmas dažnai vadinamas ląsteliniu tinklu.

Galime padaryti ir nelabai realistišką prielaidą – tarkime, žmonių socialinis tinklas yra žiedo formos. Šiame žiede visi turi po du draugus. Ilgiausias optimalus kelias, kurį turės nukeliauti žinutė, bus N/2 (adresatui kitoje žiedo pusėje). Šį kelią galima sumažinti elementariu būdu – pridėjus vos kelis atsitiktinius ryšius. Šis mažo pasaulio tinklo generavimo algoritmas dažnai vadinamas jį sukūrusių mokslininkų garbei – Watts-Strogatz algoritmas. Nepaisant nerealistiškos kertinės prielaidos, šis modelis įdomus ta prasme, kad galima palaipsniui stebėti ilgiausio optimalus kelios mažėjimą.

MŪSŲ BEMASTELIS PASAULIS

Antroji svarbi savybė – mastelio socialiniuose tinkluose nebuvimas. Ši savybė ypatingai svarbi ir įdomi fizikams (ir ne tik) dėl to, kad susieja socialinius vyksmus su kriziniais vyksmais fizikoje. Vyksmais, kurių metu įvyksta esminiai pokyčiai – dujos kondensuojasi ir tampa skysčiu, skystis vėsdamas tampa kietu kūnu. Be galo įdomu ir iš pirmo žvilgsnio atrodo keista, kad žmonės yra nuolatinėje krizinėje būsenoje.

Ką gi turiu mintyje sakydamas, kad socialiniai tinklai neturi mastelio? Pradėkime nuo ribinio atvejo. Daugelis tikrai yra bent kartą žaidę stalo žaidimą, kuriame būtų metami kauliukai (pvz., Monopolis ar Katano salos naujakuriai). Tad, dauguma tikrai pažįsta šešiasienius lošimų kauliukus. Visos jo vertės atsiverčia su tokia pat tikimybe. Vienodai dažnai matysime ir 1, ir 6. Jeigu mesime du tokius kauliukus, tai dažniausiai matysime atsivertusias kauliukų verčių sumas artimas 7, bet 2 ir 12 atvejai taip pat nebus ypatingai reti. Pridėdami po kauliuką, vis dažniau matysime vertes, artimas vidurkiui, o mažiausios ir didžiausios vertės greitai taps mažai tikėtinomis. Kuo daugiau kauliukų mesime, tuo labiau stebimų verčių skirstinys artės prie normaliojo. Socialiniai tinklai tikrai neprimena ribinio vieno kauliuko atvejo, jie yra artimesni dviejų kauliukų atvejui. Socialiniuose tinkluose draugų skirstinys yra laipsninio pobūdžio. Tai reiškia, kad yra daug žmonių, kurie yra ganėtinai socialiai neaktyvūs, ir palyginus daug žmonių, kurie turi daug draugų ir sekėjų.

Panašus dėsnis yra stebimas ir kitokiuose tinkluose. Pvz., mokslinių straipsnių citavimo tinklas pasižymi mastelio nebuvimu. Mokslinių straipsnių citavimo tinkle matytume straipsnius, sujungtus citavimo ryšiais. Yra mokslinis darbas, kuris jau buvo pacituotas 300 tūkstančių kartų, bet yra labai daug tokių, kurie pacituoti vos kartą (ar išvis nebuvo pacituoti). Tą patį matome internete – daug žmonių cituoja Vikipedijos straipsnius, bet yra svetainių, kurių niekas nežino ir necituoja, neduoda nuorodų į jas.

Pirmieji šį mastelio nebuvimą sumodeliavo Barabasi ir Albert. Jie pasiūlė elementarų modelį, kuriame daug draugų turintys žmonės laikui bėgant susiranda dar daugiau draugų. Daug citatų turintys mokslo darbai – daugiau citavimų. Supaprastintas tinklo generavimo algoritmas būtų toks:

1. Pradėkime nuo tinklo, kuriame du žmonės, kurie tarpusavyje yra draugai.
2. Pridėkime prie tinklo žmogų.
3. Šis naujas žmogus susidraugauja su vienu iš senųjų draugų. Tikimybė pasirinkti kažkurį konkretų žmogų yra proporcinga jo jau turimų draugų skaičiui
4. Kartojame 2-3 žingsnius, kol žmonių skaičius tinkle pasidaro pakankamai didelis.

Modelis atkuria laipsninį draugų skaičiaus skirstinį, bet nevisai įtikinamai paaiškina, kodėl žmonės renkasi populiaresnius draugus. Atsakyti galima būtų paprastai – su daugeliu savo draugų susipažįstame per jau turimus draugus. Tad, tikimybė susipažinti su atsitiktiniu žmogumi yra proporcinga jo turimų draugų skaičiui.

tsimindami mastelio nebuvimą, grįžkime prie draugų paradokso. Barabasi-Albert modelyje dauguma žmonių turės be galo mažai draugų (veikiausiai 1 ar 2), bet jų draugai savo ruožtu bus būtent tie „populiarieji.“ Visai neseniai panašus pastebėjimas buvo padarytas, nagrinėjant aktyvumą Twitter socialiniame tinkle.

PRAKTINĖ UŽDUOTIS

Mėgstu vakcinavimo temą, tad, paprašysiu jūsų pagalvoti, kaip paskiepyti trečio pasaulio valstybės kaimelio gyventojus. Jų yra apie 40, o teturite 5 vakcinas. Kaip atrinksite tuos, kuriuos skiepysite?

Atsakymas čia >>

NORINTIEMS PASIGILINTI

Šiame tekste trumpai ir paviršutiniškai apžvelgiau tinklų teoriją pro draugų paradokso prizmę. Apie socialinius ir ekonominius tinklus galima būtų parašyti žymiai daugiau, tiek įtraukiant daugiau pavyzdžių (įvairių modelių ar praktinių taikymų), tiek visokių susijusių techninių detalių ir kitų neakivaizdžių įdomybių apie kasdienį gyvenimą. Apie tinklų teoriją galima būtų netgi parašyti ir visą knygą, bet tai jau padaryta ne kartą. Vienas iš geresnių pavyzdžių – A. L. Barabasi „Network Science,“ kuri parašyta gerai žinomo autoriaus ir taip pat nemokamai prieinama internete. Pasigilinti tinklų teorijos galima būtų ir dalyvaujant masiniuose internetiniuose kursuose (angl. MOOC) – pvz., „Social and Economic Networks“ (dėsto prof. M. Jackson iš Stanfordo). Įvairios medžiagos taip pat rasite ir Rizikos fizikos tinklaraščio tinklų modelių skiltyje.

Aleksejus Kononovičius | Technologijos.lt
VU Teorinės fizikos ir astronomijos instituto mokslo darbuotojas